Найти экстремумы:y=2x^4-2x^2

Краткий ответ: [latex]y=2x^4-2x^2[/latex] [latex]y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x[/latex] [latex]8x^3-4x=0 \\ x(8x^2-4)=0 \\ x_{1}=0; \\ 8x^2-4=0 \\ 8x^2=4 \\ x^2=1/2 \\ x_{2}=1/ \sqrt{2} \\ x_{3}=-1/ \sqrt{2} [/latex] [latex]1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \\ 2) y( \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \\ 3) y( -\frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2}[/latex] Ответ: [latex]0; - \frac{1}{2}[/latex]. Развернутый ответ: [latex]y=2x^4-2x^2[/latex] Экстремумы функции - значение функции в точках экстремума (в точках минимума и максимума). Найдем производную данной функции: [latex]y'=(2x^4-2x^2)'=8x^3-4x[/latex] Найдем критические точки (критические точки - точки, в которых производна функции равна нулю или не существует). Для этого приравняем значение производной к 0: [latex]8x^3-4x=0 \\ x(8x^2-4)=0 \\ x_{1}=0; \\ 8x^2-4=0 \\ 8x^2=4 \\ x^2=1/2 \\ x_{2}=1/ \sqrt{2} \\ x_{3}=-1/ \sqrt{2} [/latex] Отметим данные значения на числовой прямой (см. рис). Найдем значение производной на каждом из промежутков, чтобы определить поведение функции (убывает или возрастает). Если производная y'>0, то функция возрастает; если производная y'<0, то функция убывает. Для примера рассмотрим промежуток от [latex]1/ \sqrt{2} [/latex] до +∞. Возьмем любое число из этого промежутка. К примеру, 1. [latex]y'(1)=8*1^{3} -4*1=8-4=4\ \textgreater \ 0[/latex], значит, функция возрастает на данном промежутке. Аналогичным способом определяем поведения функции на других промежутках. Поскольку при переходе через точку [latex]x=\frac{1}{ \sqrt{2} }[/latex] производная изменяет знак с "-" на "+", то эта точка является точкой минимума; при переходе через точку [latex]x=0[/latex] производная изменяет знак с "+" на "-", поэтому эта точка является точкой максимума; при переходе через точку [latex]x=- \frac{1}{ \sqrt{2} } [/latex] производная изменяет знак с "-" на "+", поэтому эта точка является точкой минимума. Имеем 3 точки экстремума: [latex]0, \frac{1}{ \sqrt{2} } , -\frac{1}{ \sqrt{2} } [/latex] Найдем значение функции в точках экстремума, то есть найдем экстремумы функции: [latex]1) y(0)=2* 0^{4} -2*0^{2}=0 \\ 2) y( \frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2} \\ 3) y( -\frac{1}{ \sqrt{2} } )=2* \frac{1}{4} -2* \frac{1}{2} =- \frac{1}{2}[/latex] Ответ: [latex]0; - \frac{1}{2}[/latex].