Найти линии уровня поверхности z=1/(x^2+y^2). Найти градиент в точке М(1; 0). Показать, что он перпендикулярен соответствующей линии уровня.

через точку  М(1; 0) проходит линия уровня вида z0=1/(x^2+y^2) при подстановке х=1 у=0 получаем z0=1/(1^2+0^2)=1 через точку  М(1; 0) проходит линия уровня 1=1/(x^2+y^2) или x^2+y^2 =1 - окружность с центром в начале координат и радиусом 1 найдем уравнение касательной в точке дифференциал 2xdx+2ydy =0 при подстановке х=1 у=0 получаем 2*1*dx+2*0*dy =0 dx = 0 х = const = 1 - уравнение касательной единичный вектор касательной имеет вид A = (0,1) найдем градиент dz/dx = d/dx(1/(x^2+y^2)) =-1/(x^2+y^2)^2 d/dx(x^2+y^2) = -2x/(x^2+y^2)^2  dz/dу = d/dу(1/(x^2+y^2)) =-1/(x^2+y^2)^2 d/dу(x^2+y^2) = -2у/(x^2+y^2)^2  при подстановке х=1 у=0 получаем grad(z) = G = (-2;0) скалярное произведение векторов А и G AG = 0*(-2)+1*0=0 - значит вектор касательной к линии уровня в точке  М(1; 0) ( а значит и сама линия уровня, проходящая через точку   М(1; 0)) перпендикулярен к вектору градиента  в точке  М(1; 0)