Найти натуральное число A , если из трех следующих утверждений два верны, а одно -- неверно: а) A+51 есть точный квадрат, б) последняя цифра числа A есть единица, в) A-38 есть точный квадрат.

Если б) истинно, и А кончается на 1, то А+51 на 2, а А-38 на 3. Такие числа не могут быть квадратами, тогда условия а) и в) ложны. Этого не может быть, значит, ложно условие б). Итак, про число А нам известно, что А+51 и А-38 - два квадрата. Разность между этими числами равна 51+38 = 89. Подбираем: 100-89=11, 121-89=32, 144-89=55, 169-89=80, 196-89=107, 225-89=136, 256-89=167, 289-89=200, 324-89=235, 361-89=272, 400=89=311, 441-89=352, 484-89=395, 529-89=440, 576-89=487, 625-89=536, 676-89=587, 729-89=640, 784-89=695, 841-89=752, 900-89=811, 961-89=872, 1024-89=935, 1089-89=1000, 1156-89=1067, 1225-89=1136, 1296-89=1207, 1369-89=1280, 1444-89=1355, 1521-89=1432, 1600-89=1511, 1681-89=1592, 1764-89=1675, 1849-89=1760, 1936-89=1847, 2025-89=1936 - ВОТ ОТВЕТ! А+51 = 2025 = 45^2; A-38 = 1936 = 44^2; A = 2025-51 = 1936+38 = 1974. Ответ: 1974