Найти неопределенные интегралы , используя выделение полного квадрата ∫ 11x-3 / (x^2+6x+13) dx

[latex]\displaystyle I=\int\frac{11x-3}{x^2+6x+13}\,dx[/latex] Найдем производную знаменателя и выделим её в числителе. [latex]\displaystyle (x^2+6x+13)'=2x+6; \ 11x-3=5.5(2x+6)-36[/latex] Теперь интеграл разбивается на два. [latex]\displaystyle I=\int\frac{5.5(2x+6)}{x^2+6x+13}\,dx-\int\frac{36}{x^2+6x+13}\,dx= \\ \\ 5.5\int\frac{2x+6}{x^2+6x+13}\,dx-36\int\frac{1}{x^2+6x+13}\,dx =I_1-I_2[/latex] Находим I₁. Сделаем замену u=x²+6x+13, тогда du=(2x-6)dx - чего мы и добивались, выделяя в числителе производную знаменателя. [latex]\displaystyle I_1=5.5\int \frac{du}{u}=5.5\ln(u)+C_1=5.5\ln(x^2+6x+13)+C_1 [/latex] Теперь займемся I₂. Выделим в знаменателе полный квадрат. x²+6x+13 = (x²+2·3·x+3²)-3²+13 = (x+3)²+4 Сделаем замену u=x+3, тогда du=dx и вычислим I₂ [latex]\displaystyle I_2=36\int \frac{du}{u^2+4} [/latex] Это табличный интеграл: [latex]\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2}= \frac{1}{a}\, arctg \frac{x}{a}+C [/latex] Тогда можно записать [latex]\displaystyle I_2= 36\frac{1}{2}\,arctg \frac{u}{2}+C_2=18\,arctg \frac{x+3}{2}+C_2 [/latex] Окончательно получаем [latex]\displaystyle I=5.5\ln(x^2+6x+13)-18\,arctg \frac{x+3}{2}+C[/latex]