Найти непрерывность функций y=2x^2+2

Пусть функция [latex]f(x)=x^2+2[/latex] определена на множестве E [latex]E\subseteq |R[/latex] Пусть [latex]\delta=\frac{\epsilon}{2x_0+1}[/latex] где [latex]x_0 \in E[/latex]. Понятно, что для любого [latex]x[/latex] на области [latex]\delta[/latex] от [latex]x_0[/latex] (то есть: [latex]x \in (x_0-\delta,x_0+\delta)[/latex]) выполняется [latex]|x+x_0|<|2x_0+ \frac{\delta}{2}| [/latex]. Следовательно, для [latex]\delta<2[/latex], выполняется [latex]|x+x_0|<|2x_0+1|[/latex]. [latex]|(x^2+2)-(x_0^2+2)|=|x^2-x_0^2|=|x-x_0|\cdot|x+x_0| < |x-x_0|\cdot|2x_0+1| \\ \delta= \frac{\epsilon}{x_0+1} \ \ \ => \ \ \ |x^2-x_0^2|< |x-x_0|\cdot|2x_0+1|<\delta|2x_0+1|=\epsilon[/latex] Получили, что для любого [latex]\epsilon > 0[/latex] есть [latex]\delta=\frac{\epsilon}{x_0+1}<1[/latex], на области которой выполняется [latex]|f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/latex] (Проще говоря: [latex]\forall \epsilon>0 \ \ \exists\delta>0 \ \ : \ \ |x-x_0|<\delta \ \ \bigwedge \ \ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/latex]). Следовательно - [latex] \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) [/latex]. Что и требовалось доказать. Для [latex]x_0=-1[/latex] нужно отдельно доказать предел [latex] \lim_{x \to -1} f(x)=f(-1)[/latex]. Теперь в чём проблема самого вопроса: мы только что доказали непрерывность функции на любом подмножестве [latex]|R[/latex]. Но! Множество натуральных чисел [latex]|N[/latex] тоже подмножество [latex]|R[/latex], значит [latex]f:|N \longrightarrow |R[/latex] тоже непрерывна, получается - доказали что [latex]f[/latex] непрерывна на области определения? Известно, что [latex]g(x) \frac{1}{x} [/latex] тоже непрерывна на области определения, но [latex]g[/latex], понятное дело, не определена на [latex]|R[/latex]! Потому вопрос, ИМХО, поставлен не верно (претензия не к тебе, а скорее к преподавателям твоим). Правильно задать вопрос указывая то множесто точек, которое интересует: к примеру "непрерывна на [latex]|R[/latex]" или, "непрерывна на отрезке [latex](x_0-a,x_0+a)[/latex]"... Тем более, что есть понятие "равномерная непрерывность" - свойство области, а не так, как "непрерывность" - свойство точки. Отсюда и непонимание. А то получается: спрашивают об области, а проверяют точку. Будут вопросы - пиши. P.S. Исправил ошибки в наборе символов. Текста много :)