Найти общее решение диффура методом вариации производных(методом Лагранжа) y''+y=-ctg²(x)

Данное уравнение - линейное неоднородное. Соответствующее однородное уравнение имеет вид [latex]y'' + y = 0[/latex]. Характеристическое уравнение имеет вид [latex]k^2 + 1 = 0[/latex]. Оно имеет комплексные сопряженные корни  [latex]k_1_,_2 = \pm i[/latex], значит общее решение однородного уравнения имеет вид  [latex]\tilde{y} = C_1cosx + C_2sinx[/latex]. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде  [latex]y = C_1(x)cosx + C_2(x)sinx[/latex], где [latex]C_1(x),C_2(x) [/latex] - некоторые пока неизвестные функции. Составим систему, из которой мы сможем найти эти неизвестные функции: [latex] \left \{ {{C_1'(x)cosx + C_2'(x)sinx = 0} \atop {-C_1'(x)sin(x)+C_2'(x)cosx=-ctg^2(x)}} \right. [/latex] Определитель данной системы равен: [latex]W = \left\begin{vmatrix}cosx&sinx\\-sinx&cosx\end{vmatrix}\right = cos^2x + sin^2x = 1[/latex]. Дополнительные определители равны: [latex]\Delta_{C'_1(x)} = \left\begin{vmatrix}0&sinx\\-ctg^2x&cosx\end{vmatrix}\right = ctg^2x*sinx = \frac{cos^2x}{sinx} \\ \Delta_{C'_2(x)} = \left\begin{vmatrix}cosx&0\\-sinx&-ctg^2x\end{vmatrix}\right = -cosx*ctg^2x = -\frac{cos^3x}{sin^2x} [/latex]. Решение системы таково: [latex]\left \{ {{C'_1(x)= \frac{\Delta_{C'_1(x)}}{W} } \atop {C'_2(x)= \frac{\Delta_{C'_2(x)}}{W}}} \right. \\ \left \{ {{C'_1(x)= \frac{cos^2x}{sinx}} \atop {C'_2(x) = -\frac{cos^3x}{sin^2x}}} \right.[/latex]. Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы: [latex]C_1(x) = \int{\frac{cos^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{1-sin^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{dx}{sinx}}-\int{sinx}} \, dx =[/latex][latex]-\int{\frac{d(cosx)}{sin^2x}} \, dx + cosx =\int{\frac{d(cosx)}{cos^2x-1}} \, dx + cosx = \frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1[/latex]. [latex]C_2(x) = -\int{ \frac{cos^3x}{sin^2x}} \, dx = -\int{ \frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = \int{ \frac{sin^2x-1}{sin^2x}}\,d(sinx) = \int{d(sinx)}[/latex][latex]-\int{ \frac{d(sinx)}{sin^2x}} = sinx + \frac{1}{sinx} + C_2[/latex], где [latex]C_1,C_2[/latex] - произвольные константы. Осталось только записать решение в общем виде: [latex]y = (\frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1)cosx + (sinx + \frac{1}{sinx} + C_2)sinx[/latex]. При желании можно преобразовать полученный ответ.