Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентами y''-3y'=3e^3x

Решение уравнения будем искать в виде [latex]y=e^{\beta\cdot x}[/latex]. Составим характеристическое уравнение.  [latex]\beta^2-3\beta=0\\ \beta_1=0;\\ \beta_2=3;[/latex] Фундаментальную систему решений функций: [latex]y_1=1\\ y_2=e^{3x}[/latex] Общее решение однородного уравнения:  [latex]y_{*}=y_1+y_2=C_1\cdot e^{3x}+C_2[/latex] Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения:  [latex]f(x)=3e^{3x}[/latex] найдем частные решения. Правая часть имеет вид уравнения [latex]P(x)=e^{\alpha x}(R(x)\cos(\gamma x)+L(x)\sin(\gamma x))[/latex], где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение. [latex]y=x^ze^{\alpha x}(P(x)\cos(\gamma x)+S(x)\sin (\gamma x))[/latex], где [latex]z -[/latex]кратность корня [latex]\alpha+\gamma i[/latex] У нас R(x) = 3; L(x) = 0; [latex]\alpha=3;\,\, \gamma =0[/latex] Число [latex]\alpha + \gamma i=3[/latex] является корнем характеристического уравнения кратности z=1 Тогда уравнение имеет частное решение вида:  [latex]y=x(Ae^{3x})[/latex] Находим 2 производные, получим [latex]y'=3Ax3e^{3x}+Ae^{3x}\\ y''=3Ae^{3x}(3x+2)[/latex] И подставим эти производные в исходное диф. уравнения [latex]y''-3y'=3e^{3x}\\ 3Ae^{3x}=3e^{3x}\\ A=1[/latex] Частное решение имеет вид: [latex]y_*=xe^{3x}[/latex] Общее решение диф. уравнения:   [latex]y=C_1e^{3x}+C_2+xe^{3x}[/latex]