Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=[latex] 2x^{2} [/latex] y=[latex] x^{2} + x^{2} [/latex]

Смотрим график. Фигура располагается на промежутке [0;1] График функции y=x^2+x находится выше графика функции y=2x^2, следовательно, чтоб найти площадь найденной фигуры, запишем интеграл: [latex]S= \int\limits^1_0 {(x^2+x-2x^2)} \, dx = \int\limits^1_0 {(x-x^2)} \, dx =\int\limits^1_0 {x} \, dx -\int\limits^1_0 {x^2} \, dx = \\ \\ = \frac{x^2}{2} |_0^1- \frac{x^3}{3} |_0^1= \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}-( \frac{1^3}{3}- \frac{0^3}{3})= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \\ \\ S= \frac{1}{6} [/latex]