Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части числа {x}, интеграл модуля и дробной части

[latex]y=|x|\\ y'=\frac{x}{|x|}\\ [/latex] интеграл от нее , известно что равен   [latex] \int\limits { \frac{x^2}{2}*sgn(x)+C} [/latex] , хотя по сути можно упрощение сделать. Это лишь формальности  По формуле   [latex](x)=x-[x][/latex] , где [latex][x][/latex] целая часть числа.   По свойству кусочных функций ,  сама дробная часть имеет период [latex]T=1[/latex] , это  видно из графика   .    И она очевидно разрывна , что уже говорит что у нее производная будет равна     [latex]{x}'=1[/latex]   Интеграл можно  "раздробить"  ориентируясь по графику , можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников , длинами катетов равными 1 и 1 .   Если брать общее число каких то площадей , то тут суммарно не разберешься , если же какой та определенный кусок есть . к примеру  от  [latex]0[/latex]  до [latex]"n"[/latex] , то   площадь этих треугольников , равна   [latex]\frac{1*1}{2}[/latex] , если же  перейти к примеру  то   [latex] \int\limits^n_0 \frac{[x]}{2}^2+\frac{(x)}{2}^2 +C[/latex]