Найти решение дифференциальногo уравнения при известных начальных условиях (задача Коши). y''-100y=0 y(0)=0 y'(0)=15

Составим и решим характеристическое уравнение: [latex]{\lambda}^2-100=0[/latex] [latex](\lambda+10)(\lambda-10)=0[/latex] [latex]\lambda_1=-10[/latex]   [latex]\lambda_2=10[/latex] Общее решение: [latex]y=C_1e^{-10x}+C_2e^{10x}[/latex]  где [latex]C_1,C_2[/latex] - константы. Используем начальное условие y(0)=0 : [latex]y(0)=C_1e^0 +C_2e^0=C_1+C_2[/latex] Согласно начальному условию, получаем первое уравнение : [latex]y(0)=C_1+C_2=0 =>C_1+C_2=0[/latex] Берем общее решение, и находим производную: [latex]y'=(C_1e^{-10x}+C_2e^{10x})=-10C_1e^{-10x}+10C_2e^{10x}[/latex] Используем второе начальное условие y'(0)=15 : [latex]y'(0)=-10C_1+10C_2[/latex] Согласно второму начальному условию, находим второе уравнение: [latex]y'(0)=-10C_1+10C_2=>-10C_1+10C_2=15[/latex] Составим и решим систему из двух найденных уравнений: [latex] \left \{ {{C_1+C_2=0} \atop {-10C_1+10C_2=15}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{-10C_1+10C_2=15} \atop {C_1+C_2=0}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{-10C_1+10C_2=15} \atop {2C_2=\frac{3}{2}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{-2C_1+2C_1=3} \atop {2C_2=\frac{3}{2}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{-2C_1=\frac{3}{2}} \atop {C_2=\frac{3}{4}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{C_1=-\frac{3}{4}} \atop {C_2=\frac{3}{4}}} \right. [/latex] Подставим найденные значения в общее решение: [latex]y=-\frac{3}{4}e^{-10x}+\frac{3}{4}e^{10x}[/latex] Ответ: частное решение : [latex]y=-\frac{3}{4}e^{-10x}+\frac{3}{4}e^{10x}[/latex]