Найти точки максимума минимума функции [latex]y=sin^{4}x+cos^{4}x[/latex]

y=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-1/2(sin2x)^2 y'=-2sin2xcos2x=-sin4x 4x=Пk x=Пk/4 y''=-4cos4x y''(П/4)=-4cosП=4>0  минимум y''(П/2)=-4cos2П=-4< максимум x=П(2k+1)/4- минимум x=Пk/2- максимум

Вариант решения без второй производной y=sin⁴x+cos⁴x находим производную и приравниваем ее к нулю y'=4sin³x cosx-4sinx cos³x y'=4sinx cosx(sin²x-cos²x) y'=-2sin2x(cos²x-sin²x) y'=-2sin2x*2cos2x=-2sin4x -2sin4x=0 sin4x=0 4x=πk x=πk/4 Определяем знаки интервалов        -           +          -              +          -            + ₀----------₀---------₀----------₀----------₀----------₀----------₀-------------> 0           π/4      2π/4        3π/4     4π/4 При переходе от минуса к плюсу имеем минимум, от плюса к минусу - максимум функции. Ответ: точки минимума π(k+1)/4; точки максимума πn/4; k,n∈Z