Найти уравнение множества точек, для каждой из которых сумма расстояний от двух точек F₁(4;0) и F₂(-4;0) равна 10.

Эллипс — геометрическое место точек M, для которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами. По условию F₁M+F₂M=10. Так как фокусные расстояния F₁ и F₂ равноудалены от начала координат, то центр эллипса лежит в начале координат. Каноническое уравнение эллипса: х²/а²+у²/b²=1. Расположим точку М на оси Oy, тогда b=MO. MO - высота равнобедренного треугольника F₁MF₂. F₁M+F₂M=10, значит F₁M=5. В треугольнике ОМF₁ MO²=F₁M²-OF₁²=5²-4²=9, b=MO=3. Расположим точку М на оси Oх, тогда а=МО. F₂M+F₁M=10, F₂F₁+F₁M+F₁M=10, 2F₁M=10-F₂F₁=10-8=2, F₁M=1, a=MO=OF₁+F₁M=4+1=5. Итак, уравнение нашего эллипса: х²/25+у²/9=1 - это ответ.