Найти все значения параметра a, при которых данное уравнение разрешимо, и решить его при найденных a: [latex]\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{\sqrt{24(x^2+a^2)+9}-1}{6}}= =\sqrt{3}(x^2+a^2+1)+\sqrt{(x^2+a^2)(3x^2+3a^2+2)}[/latex]...

Положим x² + a² = t, тогда  [latex] \frac{2}{ \sqrt{3} } + \sqrt{ \frac{ \sqrt{24t+9}-1 }{6} } = \sqrt{3}(t+1)+ \sqrt{t(3t+2)} [/latex] [latex] \frac{d}{dx} (\frac{2}{ \sqrt{3} } + \sqrt{ \frac{ \sqrt{24t+9}-1 }{6} }) = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{8t+3} \sqrt{ \sqrt{3} \sqrt{8t+3}-1 } } [/latex] [latex] \frac{d}{dx} (\sqrt{3}(t+1)+ \sqrt{t(3t+2)} ) = \frac{3t+1}{ \sqrt{t(3t+2)} } + \sqrt{3} [/latex] Производная первой функции меньше производной второй функции, обе они монотонны и пересекаются в точке t = 0 ⇒ больше нигде пересечений нет. Итак, полученное уравнение имеет лишь один корень t = 0. Таким образом, x² + a² = 0. Но, так как в левой части равенства у нас выражение принимает всегда неотрицательные значения, x² = a² = 0, то есть x = a = 0. Ответ: 0.