Не выполняя деления многочленов, найти  остаток  от деления многочлена P(x) yна многочлен Q(x) : P(x) = [latex] x^{5} - 2x^4 + x^3 + x -2 , Q(x) = x^2-4 [/latex]

Так. Сначала теорию. Любой многочлен, имеющий корни, можно разложить на произведение вида (x-x1)(x-x2)... где x1, x2 - корни. Тогда если многочлен P(x) делится на разность (x-a), то P(a) = 0. Если не делится, то P(x) = (x-a)T(x) + R(x) P(a) = (a-a)T(x) + R(x) = R(x) Тогда остаток от деления многочлен P(x) на (x-a) равен P(a). (этого добились простой алгеброй) Решение: Q(x) = (x-2)(x+2) остаток деления должен быть степени ниже, чем Q(x). Пусть R = kx + b. Тогда остатки от деления P на x-2, на x+2 равны остаткам от деления P на Q, при x = 2, -2 соответственно. Док-во:  Рассмотрим остаток деления P на Q: P(x) = T(x) * Q(x) + R(x) при x = 2: P(2) = T(2) * 0 + R(2) -> R(2)=k*2+b = P(2) = остаток от деления P на (x-2) P(-2) = T(-2) * 0 + R(-2) -> R(-2)=k*(-2)+b = P(-2) = остаток от деления P на (x+2) Следовательно остатки от деления P на (x-2), (x+2) принадлежат R(x) Найдем R(x): Тогда P(2) = 8, R(2) = 8 P(-2) = -76 k*2+b=8 k*(-2) +b=-76 k=(8-b)/2 (8-b)/2 * (-2) + b= -76 b-8+b=-76 => 2b=-68 => b= -34 => k = 21 R(x) = 21x-34