Нехай дiйснi числа x,y i z задовольняють одночасно двi рiвностi: (x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1 (х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1 Доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z З’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рi...
Нехай дiйснi числа x,y i z
задовольняють одночасно двi рiвностi:
(x+y)(х ^2+ у^2+2z)=1
(х ^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2=1
Доведiть, що тодi виконується нерiвнiсть (у^2 +z) ^2 +z(x+y) ^2 ≥ z
З’ясуйте, коли в цiй нерiвностi досягається рiвнiсть.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость Сделаем замену
[latex] x^2+z=a \\ y^2+z=b [/latex]
тогда система
[latex] a^2+z(x+y)^2=1 \\ (x+y)(a+b)=1 [/latex]
Надо доказать
[latex] b^2+z(x+y)^2 \geq z [/latex]
Из системы выразив [latex]b;z[/latex]
Получим , что надо доказать
[latex] \frac{ -2a(x+y)+(x+y)^2+1 }{(x+y)^2} \geq \frac{ (1-a^2) }{ (x+y)^2 } \\ [/latex]
[latex] \frac{ (x+y-a)^2 }{ (x+y)^2 } \geq 0[/latex]
что верно , так как квадрат не может быть отрицательным
[latex](y^2+z)^2+z(x^2+z) = z \\ (x+y)(x^2+y^2+2z)=1 \\ (x^2+z)^2+z(x+y)^2=1 [/latex]
[latex]y=z=0\\ x*(x^2)=1\\ x=1[/latex]
Равенство достигается при [latex] x=1;y=z=0[/latex]
В целых числах
Не нашли ответ?
Похожие вопросы