Несколько наклонных плоскостей имеют общее основание. При каком угле наклона плоскости к горизонту альфа время соскальзывания тела будет наименьшим? Трение отсутствует.

• пусть основание всех наклонных плоскостей имеет длину b, а угол, который они составляют с этим основанием, равен α • если длина плоскости L и тело скатывается без начальной скорости, то справедливо уравнение: [latex]L= \frac{a t^{2} }{2} [/latex] ○ поэтому время скатывания равно: [latex]t= \sqrt{ \frac{2L}{a} } [/latex] • по определению cosα = b/L. значит, L = b/cosα (1) • так как трение отсутствует, то ускорение телу сообщается только горизонтальной компонентой силы тяжести, то есть a = g sinα (2) ○ используя выражения (1) и (2), получаем для времени скатывания: [latex]t= \sqrt{ \frac{2b}{gsin \alpha cos \alpha } } [/latex] • возьмем производную от t(α) и приравняем ее к нулю, дабы найти точки экстремума (предварительно упрощаю выражение): [latex]t= \sqrt{ \frac{4b}{gsin2 \alpha } } \\ \\ \frac{1}{2\sqrt{ \frac{4b}{gsin2 \alpha } }} \frac{0-4gb(sin2 \alpha )'}{ g^{2} sin^{2}2 \alpha }=0 \\ \\ \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{gsin2 \alpha }{4b} } \frac{-4gb2cos2 \alpha }{ g^{2} sin^{2}2 \alpha } =0 \\ \\ - \sqrt{ \frac{gsin2 \alpha }{b} } \frac{2bcos2 \alpha }{g sin^{2}2 \alpha } =0 \\ \\ - \frac{ \sqrt{sin2 \alpha }2 \sqrt{b}cos2 \alpha }{ \sqrt{g} sin^{2}2 \alpha } =0 [/latex] данное равенство выполняется при sin(2α) ≠ 0 и cos(2α) = 0 (b и g равными нулю быть не могут). получаем простое тригонометрическое уравнение (k ∈ Z): [latex]cos2 \alpha =0 \\ \\ 2 \alpha = \frac{ \pi }{2} + \pi k \\ \\ \alpha = \frac{\pi}{4}+ \frac{\pi k}{2} [/latex] ясно, что углы больше 90° мы не рассматриваем. поэтому α = 45°. область допустимых углов: [latex]sin2 \alpha \neq 0 \\ \\ a \neq \frac{\pi k}{2} [/latex] то есть, α ≠ 90° и α ≠ 180°