Нужно решение.Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно 2‍√5.‍ Найдите углы трапеции

Трапеция [latex]ABCD[/latex] [latex]AD,BC[/latex] нижнее и верхнее основания соответственно  [latex] a,b[/latex].  Положим что основания трапеций равны [latex] a,b[/latex], боковая сторона [latex]c[/latex]  Так как в нее можно вписать  окружность , то [latex] a+b=2c [/latex] .   Угол [latex] CDA = x[/latex]  По теореме косинусов получим  [latex]a^2-2ac*cosx=b^2+2bc*cosx\\ a^2-b^2 = 2c*cosx*(b+a)\\ cosx= \frac{a-b}{a+b} [/latex]  [latex] AC=\sqrt{a^2+(\frac{a+b}{2})^2-2a*\frac{a+b}{2}*\frac{a-b}{a+b}}\\ AC=\sqrt{\frac{a^2+6ab+b^2}{4}} [/latex]      Рассмотрим треугольник    [latex]ACD[/latex] он описанный , тогда по тереме синусов    [latex]R=\frac{\frac{\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{2}}{ 2*\sqrt{1- \frac{a-b}{a+b}}^2 }\\ R=\frac{ (a+b)\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{ab} * \frac{1}{4} \\ [/latex]  [latex] r=\sqrt{c^2-\frac{ (a-b) ^2}{4}} * \frac{1}{2}= \sqrt{ (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2}*0.5 = \sqrt{ab}*\frac{1}{2}[/latex]     [latex]\frac{R}{r} =2\sqrt{5}\\ \frac{ (a+b)^2 *(a^2+6ab+b^2)}{a^2b^2}=320 \\ b=4\sqrt{3}a+7a\\ cosx=\frac{1-4\sqrt{3}-7}{1+4\sqrt{3}+7} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=150а[/latex]   [latex]150;30[/latex]          Ответ