Объясните, как из 4sinx * cosx * (sin^2(x) - cos^2(x)) получается -4 * sinx * cosx * cos2x, а из него должно получится -2sin2x * cos2x ну и наконец -sin4x (это не тире, а минус)                  

sin^2x-cos^2x=-cos2x отсюда -4 * sinx * cosx * cos2x -4 * sinx * cosx * cos2x = -2(2sinx*cosx)*cos2x=-2sin2x*cos2x   ну а эта формула как раз-таки и есть -sin4x        

Все просто. есть такая форула для cos двойного угла cos(2a)= (cos(a))^2 - (sin(a))^2 поэтому используя ее получим  sin^2(x) - cos^2(x) = -( cos^2(x) -sin^2(x)) =-(cos(2x))= -cos(2x)   есть такая форула для sin двойного угла sin(2a)= 2*cos(a)*sin(a) тогда используя ее получим 4sinx * cosx = 2*(2*cos(x)*sin(x)) = 2*sin(2x) азначит наше выражение примет вид   4sinx * cosx * (sin^2(x) - cos^2(x)) = 2*sin(2x) * (-cos(2x)) = -(2*sin(2x)*cos(2x))= тогда используя форулу для sin двойного угла получим  = -(sin(2*(2x)) = -sin4x