Около окружности описана равнобедренная трапеция. а) Докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. б) Найдите отношение оснований трапеции, ...

 Положим что это верно , то есть [latex] AC[/latex] делить [latex] \frac{MN}{2} \\[/latex]  [latex] M \in AB\\ N \in CD [/latex],   [latex] M;N[/latex]  точки касания ,   тогда и вторая диагональ  [latex] BD[/latex] делить [latex] \frac{MN}{2}[/latex]  из-за того что трапеция равнобедренная .     Продлим [latex] AB;CD[/latex] за точки [latex] B,C[/latex]  , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим  что прямая проведенная с вершины треугольника  , будет делить [latex] BC;AD[/latex]  на [latex]2[/latex] , но так как  [latex] MN || BC || AD[/latex]  , то и [latex]MN[/latex] и точки пересечения диагоналей и [latex] MN[/latex] будут пересекаться в одной точке ,а значит  изначальное условие было верно .      Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,  если большее основание и меньшее      равны            [latex] a,b[/latex] тогда [latex] \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{b}{a}[/latex]   [latex] h_{1} ; h_{2}[/latex]  высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями .  Получим    [latex]\frac{(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h2) - (bh_{2}+ah_{2})}{2} = \frac{3*(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h_{2})}{16} \\ 16ab=3(a+b)^2 \\ 3a^2-10ab+3b^2 = 0 \\ (a-3b)(b-3a) = 0 \\ a=3b [/latex]   То есть основания относятся как [latex] \frac{a}{b}=3[/latex]