Около равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) описана окржность радиуса R. Средняя линия, проведенная параллельно АС, пересекает окружность в точках E и Д. Найдите отношение площади треугольника АВС к площади треугольника ЕВД,...

Пусть О - центр окружности, BH - высота треугольника ABC и BK - высота треугольника EBD. Тогда [latex]AC=2R\sqrt{3}/2=R\sqrt{3}.[/latex] [latex]ED=2R\sin\angle EOK=2R\sqrt{1-\cos^2\angle EOK}=2R\sqrt{1-(3/4)^2}=\frac{R\sqrt{7}}{2}[/latex], т.к. [latex]\cos \angle EOK=(OH+HK)/R=(R/2+R/4)/R=3/4.[/latex] Значит [latex]AC/ED=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}[/latex]. Поэтому [latex]S_{ABC}/S_{EBD}=(BH\cdot AC)/(BK\cdot ED)=2\cdot2\sqrt{3}/\sqrt{7}=4\sqrt{3}/\sqrt{7}[/latex]