Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром. Известно, что KN=4,LM=2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS:SN=1:3. Найдите площадь треугольника STL.

  Так как по условию около трапеций можно описать окружность , то следовательно трапеций равнобедренная .  Проведем  из  точки [latex]O[/latex]-центра окружности радиус  к хорде   [latex]LM[/latex]     .    Тогда угол  [latex]LTM=30а[/latex] так как она опирается на ту же дугу что центральный угол [latex]LOM[/latex] который равен ее половине [latex]60а[/latex] , так как [latex]OL=OM=2=LM[/latex] правильный треугольник .  Заметим что [latex]LS[/latex] медиана     [latex]KS=OS=1[/latex] , треугольник [latex]LSO[/latex] прямоугольный, тогда    [latex] LS=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}[/latex] .   По свойству хорд получаем   [latex]TS*SM=KS*SM\\ TS*SM=3\\ SM=\sqrt{2^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{7}\\ [/latex]            [latex] TS=\frac{3}{\sqrt{7}}[/latex]    [latex]TL^2+\frac{9}{7}-2TL*\frac{3}{\sqrt{7}}cos30=3\\ TL=\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\\ S_{STL} = \frac{\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\frac{3}{\sqrt{7}}}{2}*\frac{1}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/latex]