Около треугольника ABC со сторонами AC=5, BC=7 описана окружность. Сторона BC делит диаметр окружности, перпендикулярный ей, на отрезки, длины которых относятся как 3:2. Найдите сторону AB треугольника.

Пусть MN - диаметр, перпендикулярный стороне BC. BC∧MN=O A∉ диаметру Диаметр, перпен хорде делит ее пополам⇒BO=OC=7/2 Соединим вершину B с концами диаметра MN Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой⇒тр-ник MBN - прямоугольный.  Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, является средне пропорциональным между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу BO средне пропорц между MO и ON⇒BO^2=MO*ON MO:ON=2:3⇒MO=2x; ON=3x⇒ 2x*3x=(7/2)^2⇒6x^2=49/4⇒x^2=49/24⇒x=7/2√6⇒MN=5x=35/2√6 R - радиус окружности⇒2R=35/2√6 Применим теорему синусов: AC/sinB=BC/sinA=AB/sinC=2R⇒AB=2R*sinC Чтобы найти AB, нужно найти sinC sinC=sin(180-(A+B))=sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB BC/sinA=2R⇒sinA=BC/2R=7:(35/2√6)=(7*2√6)/35=2√6/5 sinA=2√6/5⇒cos^2(A)=1-sin^2(A)=1-24/25=1/25⇒cosA=1/5 AC/sinB=2R⇒sinB=AC/2R=5:(35/2√6)=(5*2√6)/35=2√6/7 sinB=2√6/7⇒cos^2(B)=1-sin^2(B)=1-24/49=25/49⇒cosB=5/7 sinC=sinA*cosB+cosA*sinB=2√6/5*5/7+1/5*2√6/7=(10√6+2√6)/35⇒ sinC=12√6/35⇒ AB=35/2√6*12√6/35=12/2=6 Ответ: AB=6