Окружность с центром O, вписанная в прямоугольный треугольник ABC, касается катета BC в точке M. Луч BO пересекает катет AC в точке K. Найдите AK, если CM = 4, BM = 8.

1. АВ пересекает Окр(O;r) = D 2.  ВС и ВА, СА и СВ, АС и АВ - касательные к окружности.      По свойству касательных (если из некотрой точки S проведены две касательные a и b к окружности, то отрезки касательных  от точки S до точек касания А и В равны) BM=BD, КС=CM, AK=AD 2. Катет СВ=СМ+ВМ=4+8=12 3. Выразим отрезки касательных АК и АD через х.     Катет АС=КС+х, КС=4+х гипотенуза АВ=ВD+х, АВ=8+х 4. По теореме Пифагора:      АВ² = АС² + СВ²     (8+х)² = (4+х)² + 12²     64+16х + х² = 16 + 8х + х² + 144     16х + х² - 8х - х² = 16 + 144 - 64      8х = 96       х = 12 Следовательно, АК=12 Ответ: АК=12