Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причём СК:ВК=5:8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72.

Пусть BK = 8x, CK = 5x. Пусть окружность касается AB в M, стороны AC - в N. Т.к. окружность вписанная, то CK = CN = 5x, BK = BM = 8x. Т.к. треугольник равнобедренный , то AB = BC, или AM + MB = BK + KC AM = 5x, и AN = 5x. Периметр равен 72 или 2 * 8x + 4 * 5x = 36x, т.е. x = 2. BN является медианой (т.к. AN = NC = 10), т.е. BN ещё и высота (т.к. основание - AC). BN перпендикулярна AC, ON перпендикулярна AC, т.е. точки B, O, N лежат на одной прямой. По свойству медианы имеем: BO = 2 * ON = 2r, где r - радиус вписанной окружности. Треугольник BMO - прямоугольный (OM перпендикулярна MB) с гипотенузой BO, т.е. BO² = BM² + MO² 4r² = 16² + r² 3r² = 256 r = 16√3 / 3. Площадь треугольника равна S = p * r = 72 * 16√3 / 3 = 384√3