Окружность вписанная в квадрате АВСD, касается его стороны АВ в точке К,А стороны АD точки Е. Отрезки СК и СЕ пресекают окружность в точках М и Р соответсвенно а) Докажите, что прямые ЕК и МР параллельны б) Найдите МЕ, если с...

а) Рассмотрим ΔEKC Пусть AB = a По теореме Пифагора: [latex]EC = \sqrt{ED ^{2} + DC^{2} } = \sqrt{ \frac{a^{2} }{4} + a^{2} } = \frac{ \sqrt{5} a}{2} [/latex] (1) [latex]KC = \sqrt{KB ^{2} + BC^{2} } = \sqrt{ \frac{a^{2} }{4} + a^{2} } = \frac{ \sqrt{5} a}{2} [/latex] (2) Тогда KC = EC ⇒ ΔKCE - равнобедренный. Тогда ∠EKC = ∠CEK. Рассмотрим четырехугольник EKMP. Он вписанный ⇒ ∠EPM = 180° - ∠EKM и ∠KMP = 180° - ∠KEP. Но ∠EKM = ∠EPM ⇒ ∠EKM + ∠KMP = 180° ⇒ эти углы односторонние. Значит, EK||PM. б) Из равенств (1) и (2) ⇒  [latex]KC = EC = \frac{ \sqrt{5} }{2} [/latex] По теореме Пифагора: [latex]EK = \sqrt{ AK^{2} + AE^{2} } = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} .[/latex] По теореме о квадрате касательной: [latex]LC ^{2} = CM*CK[/latex] [latex] \frac{1}{4} = CM* \frac{ \sqrt{5} }{2} [/latex] [latex]CM = \frac{ \sqrt{5} }{10} [/latex] В ΔEKC по теореме косинусов: [latex]cosECK = \frac{ KC^{2}+ EC^{2}- EK^{2} }{2*KC*CK} [/latex] [latex]cosECK = \frac{ \frac{5}{4} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2} }{2* \frac{5}{4} } = \frac{ \frac{8}{4} }{ \frac{5}{2} } = \frac{4}{5} [/latex] По теореме косинусов в ΔEMC [latex]EM = \sqrt{EC^{2} + CM^{2} - 2EC*CM*cosECK} =[/latex] [latex]= \sqrt{ \frac{5}{4} + \frac{5}{100} - 2*\frac{ \sqrt{5} }{2} * \frac{ \sqrt{5} }{10} * \frac{4}{5} } = \sqrt{ \frac{5}{4} +\frac{1}{20} - \frac{2*5*4}{100} } = [/latex] =[latex] \sqrt{ \frac{5}{4} + \frac{1}{20}- \frac{4}{10} } = \sqrt{ \frac{25 + 1 - 8}{20} } = \sqrt{\frac{18}{20}} = \sqrt{ \frac{9}{10}} = \frac{3}{ \sqrt{10} } = \frac{3 \sqrt{10} }{10}.[/latex]