Определить при x→0 порядки малости относительно x функции: [latex] \sqrt{x} \sqrt{x} [/latex] Номер 293(б)

Найдем такое k, что: [latex] \lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{x+ \sqrt{x} } }{x^k} =C \neq 0[/latex] Тогда k и будет искомым порядком малости функции √(x+√x) относительно x. [latex]\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{x+ \sqrt{x} } }{x^k}=\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt{ \sqrt{x} ( \sqrt{x} +1) } }{x^k}=\lim_{x \to 0} \frac{ \sqrt[4]{x} \sqrt{ (\sqrt{x} +1)} }{x^k}= \\ = \lim_{x \to 0} \frac{x^{1/4}}{x^k} [/latex] Теперь ясно, что только при k=1/4 предел будет равен константе отличной от нуля. Ответ: 1/4