Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон. Докажите, что эти последние противоположные стороны параллельны.

Это проще всего делать с помощью векторов. Пусть четырехугольник ABCD, и отрезок MN соединяет середины AB (точка M) и CD (точка N) Тогда MN = -AB/2 + AD - CD/2; MN = AB/2 + BC + CD/2; Если это сложить, получится MN = (AD + BC)/2; Разумеется, векторы AD и BC должны быть коллинеарны (параллельны), если выполнено такое же соотношение для длин векторов (то есть длина суммы векторов равна сумме длин векторов, если вектора параллельны).