Периметр прямоугольного треугольника равен 90см,а радиус вписанной окружности 4 см.Найти катеты треугольника

Пусть а см и b см - длины катетов, с см - длина гипотенузы.  Для прямоугольного треугольника:  r=(a+b-c)/2,  (a+b-c)/2=4.  a+b-c=8,  a+b=c+8.  Используем периметр треугольника:  a+b+c=90,  a+b=90-с.  Значит, c+8=90-с, 2с=82, с=41.  a+b=90-с=90-41=49.  b=49-a.  По теореме Пифагора  a^2+b^2=c^2,  a^2+(49-a)^2=41^2,  a^2+2401+a^2-98а=1681,  2*a^2-98а+720=0,  a^2-49а+360=0,  а1=40, а2=9,  b1=49-40=9, b2=49-9=40.  Ответ: 9 см и 40 см.

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен     [latex]r=\frac{a+b-c}{2}[/latex]     2r = a+b-c a+b-c = 8 a+b = c+8    Периметр треугольника равен a+b+c = P a+b+c = 90 a+b = 90-c    Так как левые части выделенных равенств равны, приравниваем правые части и находим гипотенузу с. с+8=90-с с+с=90-8 2с=82 с=41   2. Составим систему уравнений, где а и b - катеты. Первое уравнение составим из первого выделенного равенства, подставив вместо с число 41: a+b=41+8;    a+b=49  Второе уравнение составим, используя теорему Пифагора: а²+b² = 41² a²+b² = 1681  Получили систему уравнений: [latex]\left \{ {{a+b=49} \atop {a^2+b^2=1681}} \right[/latex] ⇔ [latex]\left \{ {{b=49-a} \atop {a^2 + (49-a)^2 = 1681}} \right[/latex]   a²+(49-a)²=1681 a²+2401-98a+a²-1681=0 2a²-98a+720=0  /2 a²-49a+360=0 D=2401-1440=961 a₁ = (49-31)/2 = 9            b₁ = 49-9 = 40 a₂ = (49+31)/2 = 40          b₂ = 49-40 = 9   Ответ. Катеты равны 9 см и 40 см.