Первая окружность построена на AB, как на диаметре, а вторая — на BC. Прямая, проходя?
Первая окружность построена на AB, как на диаметре, а вторая — на BC. Прямая, проходя??ая через точку A, повторно пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E, BD=72, BE=84. Найдите радиус меньшей из окружностей, если точки A, B и C лежат на одной прямой.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость BD параллельна ОЕ, так как <OEA=90°(радиус перпендикулярен касательной в точке касания) и <ADB=90°(угол опирается на диаметр).
<DEB=<EOM. Так как <DEB равен половине градусной меры дуги ВЕ (свойство угла между хордой и касательной), а <EOM равен половине градусной меры этой же дуги ВЕ (так как <BOE центральный и равен градусной мере дуги ВЕ, а <EOM=0,5<BOE, так как ОМ - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника ВОЕ). Тогда прямоугольные треугольники DEB и EOM подобны по острому углу.
Из подобия имеем: ОЕ/ЕВ=ЕМ/DВ, отсюда OE=ЕМ*ЕВ/DB или ОЕ=42*84/72=49.
Но ОЕ не может быть меньше DВ! (Так как тогда не выполняется соотношение в подобных треугольниках ADB и АЕО!
Изменим рисунок:
Точка С находится внутри отрезка АВ.
В этом случае все становится на свои места. (Ход решения тот же).
И тогда ОЕ - радиус меньшей окружности равен 49.
Для проверки найдем радиус большей окружности.
Из подобия треугольников ADB и АЕО имеем: АВ/АО=DB/EO или АВ/(АВ-49) =84/49. Отсюда АВ=117,6. Это диаметр большей окружности. Значит ее радиус равен 58,8 .
Ответ: радиус меньшей окружности равен 49.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы