Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O_1 касается основания ML и продолжений боковых сторон....

Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM , касается боковой стороны KL в точке B , а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.                            а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.                             б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK =16 –––––––––––––– а) Пусть окружность с центром О1 касается продолжения KL в точке С. Обе окружности вписаны в один и тот же угол МАL. Центр вписанной в угол окружности лежит на  его биссектрисе.  Треугольник MKL- равнобедренный, следовательно, АК - его биссектриса и высота,⇒  АК⊥ML.  Т.к.  центры обеих окружностей лежат на АК а угол КАМ - прямоугольный, то  ML-  общая касательная, и точка А -  общая точка касания.  В то же время эти окружности вписаны в углы КLA и  CLA соответственно, и центры окружностей лежат на  биссектрисе LO - для вписанной в треугольник окружности с центром О, и биссектрисе LO1- для вневписанной окружности с центром О1.    Угол KLC- развернутый, поэтому  углы КLA CLA- смежные.  LO и LО1- биссектрисы углов КLA и ALC и делят их пополам, а сумма половин смежных углов равна 90º.⇒ угол ОLО1=90º, что и требовалось доказать.  б) Треугольник ОLO1 прямоугольный. АL в нем высота ( т.к. угол О1АL=90º). Высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе - среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу, а в нашем случае - между радиусами обеих окружностей.  AL² =ОА•О1А Длина AL неизвестна, но ее можно найти.  АК=16, ОА=6, ⇒ОК=10. Из ⊿ КВО по т.Пифагора найдем КВ=8 (  кстати,  отношение катета ОВ к гипотенузе КО=3:5 – треугольник египетский). В ⊿ КАL отрезки АL = BL -  отрезки касательных из одной точки ( свойство).  Примем  КL и  AL =x Тогда по т.Пифагора  КL²=KA²+AL² (8+x)²=256+x²⇒ 64+16x=256 16x=192 x=12 AL² =ОА•О1А 144=6 O1A O1A=24 - это радиус второй окружности.