Планиметрия, 25+13 БАЛЛОВ! В произвольном треугольнике даны сторона a, угол A и радиус вписанной окружности r. Выразить стороны b, c.

Площадь равна S=r*a+r*(b+c)=b*c*sin(A)/2 По теорем косинусов а*a=b*b+c*c-2bc*cos(A) Есть два уравнения и два неизвестных. Перепишем теорему косинусов так а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1) (b+c)=bc*sin(A)/2r-a ПОПРОБУЕМ:  а*а=(b+c)^2-2bc(cos(A)+1) (b+c)=bc*sin(A)/2r-a  (b+c)=x bc=(xr+ar)/sinA a*a=x*x-2*(xr+ar)*(cosA+1)/sinA a*a=x*x-2(x+a)r*ctg(A/2) x*x-2x *ctgA/2r=a*a+2a*r*ctgA/2 (x-ctg(A/2)*r)^2=a*a+2a*r*ctgA/2+(ctg(A/2)*r)^2 (x-ctg(A/2)*r)^2=(a+ctg(A/2)*r)^2 x=a+2r*ctg(A/2) (b+c)= a+2r*ctg(A/2)   (вот это, наверное, ввиду простоты выражения , можно было бы и из каких-то иных геометрических соображений получить)   (b-c)^2= b*b-2bc+c*c= (a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA  (b-c)=sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))  b= (a+2r*ctg(A/2) )/2+ sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))/2  c=(a+2r*ctg(A/2) )/2- sqrt((a+2r*ctg(A/2))^2-4(xr+ar)/sinA))/2    Конечно, когда решали квадратное уравнение, могли и другие корни посмотреть Получили бы еще и симметричное решение. b  и  c  равноправны и их можно поменять местами. Извините , за некрасивый ответ. Надеюсь, правильный.