Площадь боковой грани правильной треугольной пирамиды составляет [latex]\frac{2}{3}[/latex] площади основания. Найдите высоту пирамиды, если сторона основания равна 2.

Основание - правильный треугольник со стороной 2. Тогда высота этого треугольника [latex]h_{0} = \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}[/latex] Высота пирамиды делит высоты треугольника в соотношении 1:2, т.е. [latex]h_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}; h_{2}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}[/latex] Площадь боковой грани [latex]S_{1}=\frac{2}{3}[/latex], основание - 2 => высота боковой грани [latex]h_{3} = \frac{S_{1}}{2}\cdot 2 = S_{1} = \frac{2}{3}[/latex]   Т.о. высота пирамиды [latex]h_{4} = \sqrt{h_{3}^2 - h_{1}^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2-(\frac{\sqrt(3)}{3})^2}=\frac{\sqrt{4-3}}{3}=\frac{1}{3}[/latex]   Ответ: [latex]\frac{1}{3}[/latex]