Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна 192 см (квадратных), её высота равна 4 см, а апофема пирамиды конгруэнтна стороне основания. Вычислите объем пирамиды.

S(бок) = 1/2 Р*h. h - это апофема пирамиды( равна а). 192 = 1/2*6а * а. 192 = 3а² а = 8. Это сторона шестиугольника. Его площадь равна 3а²√3/2 = 3*64*√3/2 = 96√3. v = 1/3 * 96√3 *4 = 128√3√ cм³.

АВСДЕФК - пирамида с вершиной К. КО=4см - высота. КМ - апофема. М∈АВ.  Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равнобедренных тр-ков, равных ΔАВС, следовательно площадь одного тр-ка: S3=Sбок/6=192/6=32 см². Апофема в тр-ке АВС представляет собой высоту, опущенную на основание. КМ=АВ. S3=КМ·АВ/2=АВ²/2,  АВ=√(2·S3)=8 см. Площадь правильного шестиугольника, находящегося в основании, состоит из шести правильных тр-ков. Площадь одного рассчитывается по формуле S=a²√3/4 Sш=6·S=3a²√3/2=96√3 см² V=Sш·КО/3=128√3 см³.