Площадь треугольника АВС равна 12. Найдите площадь треугольника МРК, если известно, что АМ : ВМ = ВР : СР = СК : АК = 1 : 2.

Δ [latex]ABC[/latex] [latex]M[/latex] ∈ [latex]AB[/latex] [latex]K[/latex] ∈ [latex]AC[/latex] [latex]P[/latex] ∈ [latex]BC[/latex] [latex]AM : BM = BP : CP = CK : AK = 1 : 2.[/latex] [latex]S_{ABC}=12[/latex] [latex]S_{MPK}-[/latex] ? [latex]S= \frac{1}{2} *a*b*sin \alpha [/latex] [latex]S_{ABC}= \frac{1}{2} AB*AC*sin\ \textless \ A=\frac{1}{2} CB*AC*sin\ \textless \ C=[/latex][latex]=\frac{1}{2} AB*CB*sin\ \textless \ B[/latex] или [latex]x-[/latex] коэффициент пропорциональности [latex]S_{ABC}=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ A=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ C=[/latex][latex]=\frac{1}{2}*3x*3x*sin\ \textless \ B[/latex] [latex]\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ A=12[/latex] [latex]x^2*sin\ \textless \ A= \frac{8}{3} [/latex] [latex]\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ C=12[/latex] [latex]x^2*sin\ \textless \ C= \frac{8}{3} [/latex] [latex]\frac{9}{2}x^2*sin\ \textless \ B=12[/latex] [latex]x^2*sin\ \textless \ B= \frac{8}{3} [/latex] [latex]S_{AMK}= \frac{1}{2} AM*AK*sin\ \textless \ A= \frac{1}{2} *x*2x*sin\ \textless \ A= x^{2} *sin\ \textless \ A[/latex] [latex]S_{MBP}= \frac{1}{2} BM*BP*sin\ \textless \ B= \frac{1}{2} *2x*x*sin\ \textless \ B= x^{2} *sin\ \textless \ B[/latex] [latex]S_{KPC}= \frac{1}{2} PC*CK*sin\ \textless \ C= \frac{1}{2} *2x*x*sin\ \textless \ C= x^{2} *sin\ \textless \ C[/latex] Заметим, что [latex] x^{2} *sin\ \textless \ A= \frac{8}{3} [/latex] [latex] x^{2} *sin\ \textless \ B= \frac{8}{3} [/latex] [latex] x^{2} *sin\ \textless \ C= \frac{8}{3} [/latex] Тогда  [latex]S_{MPK}=S_{ABC}-S_{AMK}-S_{MBP}-S_{PKC}[/latex] [latex]S_{MPK}=12-3* \frac{8}{3} =4[/latex] Ответ: 4 кв. ед.