По круговой дорожке в одном направлении двигаются Женя пешком и малыш Федя на велосипеде. Скорость Феди на 75% больше скорости Жени, и поэтому время от времени он ее обгоняет. В скольких разных точках дорожки будут происходить ...

Задачу можно решить методом «научного тыка» Допустим, в какой-то момент малыш Федя обгоняет Женю. Отметим это место специальной меткой, как условное начало круга. Как только он обгоняет Женю, он понимает, что (теперь уже) она – впереди него на расстоянии длины круговой дорожки (фактически она почти впритык позади него, но ведь дорожка круговая (!), а значит, Женя, как бы и впереди на расстоянии длины дорожки). Пускай Женя пройдёт после первой встречи целый круг. Для того, чтобы Феде догнать Женю, ему нужно проехать всю круговую дорожку до того места, где в прошлый раз была Женя (т.е. целый круг) и ещё один круг, чтобы уже и догнать Женю второй раз. Но для этого ему нужно было бы ехать вдвое быстрее, т.е. на 100% быстрее, а он едет только на 75% быстрее. Значит, до второй встречи Женя успеет пройти больше, чем один круг. Итак, учитывая это, пускай теперь до нового места встречи Женя пройдёт целый круг от метки до метки, и ещё дополнительно от метки какую-то часть круговой дорожки, назовём это «кусок дорожки», а малыш Федя до этого нового места встречи проедет на велосипеде целых два круга и ещё такую же часть дорожки, как и Женя, т.е. такой же «кусок». Новое место встречи, таким образом, сместилось от начальной метки на «кусок дорожки». После второй встречи, Федя опять обгонит Женю и потом опять встретится с ней уже в третий раз со смещением ещё на один «кусок дорожки» от предыдущего места встречи, которое и так уже было смещено от начальной метки на «кусок дорожки», стало быть, третья встреча сместится от начальной метки на «два куска дорожки». До второго места встречи Женя прошла круг и ещё «кусок дорожки», а Федя проехал два круга и «кусок дорожки». До третьего места встречи Женя прошла 2 круга и ещё «два куска дорожки», а Федя проехал четыре круга и ещё «два куска дорожки». До четвёртого места встречи Женя прошла 3 круга и ещё «три куска дорожки», а Федя проехал шесть кругов и ещё «три куска дорожки». Заметим, что если бы Женя к четвёртому месту встречи, смещённому от начальной метки на «три куска дорожки», прошла бы 4 целые круга (три плюс один), то тогда Федя проехал бы 6 кругов и ещё «три куска дорожки», т.е. такое же расстояние, как и Женя, а значит ещё один добавочный круг, и всего – семь кругов. И это как раз и сходится с их соотношением скорости. 7 кругов ведь на 75% больше, чем 4 круга. Всё правильно, Федя ведь ездит на 75% быстрее, а значит, он и должен проехать не 4 круга, как Женя, а 7 кругов! Значит, наше предположение верно. К четвёртой встрече Женя проходит четыре полных круга, а стало быть, она приходит к начальной метке, которую мы отметили в месте первой встречи, т.е. место четвёртой встречи совпадает с местом первой встречи. Дальнейшие встречи станут совпадать со встречами в первом цикле рассуждений. Таким образом, всего существует 3 разных места, где Федя обгоняет Женю. Так же, эту задачу можно решить и «аналитически», через введение неизвестного параметра скорости, и рассмотрения относительной скорости участников, т.е. скорости сближения. Пусть скорость Жени равна   [latex] v . [/latex]   Тогда скорость Феди равна   [latex] 1.75v . [/latex]   Когда Федя догоняет Женю, их скорость сближения равна   [latex] 1.75v - v = 0.75v [/latex]   (вычитаем, поскольку Женя уходит от догоняющего её Феди, тем самым, как бы мешая ему себя догонять). Иначе можно сказать, что скорость Жени в   [latex] \frac{4}{3} [/latex]   раза больше, чем скорость сближения, поскольку   [latex] v : 0.75 v = 1 : \frac{3}{4} = \frac{4}{3} . [/latex] Когда Федя в очередной раз обгоняет Женю, его удалённость от Жени, которую он встретит в будущем, в следующем месте обгона, составляет как раз один круг. За время, пока Федя доедет до нового обгона Жени, Женя пройдет по круговой дорожке в   [latex] \frac{4}{3} [/latex]   раза большее расстояние, поскольку её скорость в   [latex] \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} [/latex]   раза больше скорости сближения. Из этого и следует, что за время между двумя очередными последовательными встречами, которые разделяют участников движения расстоянием в один круг, Женя проходит круг и ещё треть круговой дорожки. Значит за 3 дополнительные встречи (после первой начальной) она и пройдёт полный круг, вернувшись к начальной метке. Т.е. всего существует 3 места, в которых малыш Федя обгоняет пешую Женю. О т в е т : в 3 точках.