По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» Участник лотереи, угадавший 4, 5, 6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность: а) того, что будут угаданы 4 цифры;...

После розыгрыша лотереи окажется [latex] 6 [/latex] выигрышных номеров. Кроме них так же будут [latex] 39 [/latex] невыигрышных. [N] Участник лотереи выбирает 6 номеров. Всего он может выбрать первый номер 45-тью способами, второй – 44-мя способами, третий 43-мя способами, четвёртый – 42-мя способами, пятый – 41-им способом и выбрать шестой – 40 способов. Причём существует некоторое число повторов, когда одну и ту же комбинацию выбрали в различном порядке. 6 номеров можно переставить 6! способами. Значит, общее число способов выбрать 6 номеров из 45 составит: [latex] N = \frac{ 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 } = 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 [/latex] ; [4] Попасть в один из выигрышных номеров можно 6-тю способами, попасть во второй выигрышный номер можно оставшимися 5-тю способами, попасть в третий выигрышный номер можно оставшимися 4-мя способами и попасть в четвёртый выигрышный номер можно оставшимися 3-мя способами. Причём существует некоторое число повторов, когда одну и ту же комбинацию 4 выигрышных выбрали в различном порядке. 4 номера можно переставить 4! способами. Значит, общее число способов выбрать 4 выигрышных номера из шести составит: [latex] N_4 = \frac{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 }{ 4 \cdot 3 \cdot 2 } = 5 \cdot 3 [/latex] ; **[2]** Попасть в один из невыигрышных номеров можно 39-тью способами и попасть во второй невыигрышный номер можно оставшимися 38-мью способами. Причём существуют повторы, когда одну и ту же комбинацию 2 невыигрышных номеров выбрали в различном порядке. 2 номера можно переставить двумя способами. Значит, общее число способов выбрать 2 невыигрышных номера из 39-ти составит: [latex] N_2 = \frac{ 39 \cdot 38 }{ 2 } = 39 \cdot 19 [/latex] ; [4 из 6] Вероятность угадать РОВНО четыре номера в розыгрыше составит: [latex] P_4 = \frac{ N_4 \cdot N_2 }{ N } = \frac{ 5 \cdot 3 \cdot 39 \cdot 19 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 39 \cdot 19 }{ 11 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 4 } = \frac{ 741 }{ 2 \cdot 271502 } \approx 0.001364 = 0.1364 \% [/latex] ; [5 из 6] Попасть в пять выигрышных номеров можно 6-тю способами, в самом деле, это просто значит отбросить какой-то один из 6-ти выигрышных номеров. Значит, общее число способов выбрать 5 выигрышных номеров из шести составит: [latex] N_5 = 6 [/latex] . Попасть в один из невыигрышных номеров можно 39-тью способами. Вероятность угадать РОВНО пять номеров в розыгрыше составит: [latex] P_5 = \frac{ N_5 \cdot N_1 }{ N } = \frac{ 6 \cdot 39 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 39 }{ 11 \cdot 43 \cdot 7 \cdot 41 \cdot 10 } = [/latex] [latex] = \frac{ 39 }{ 5 \cdot 271502 } \approx 0.00002873 = 0.002873 \% [/latex] ; [6 из 6] Попасть в шесть выигрышных номеров можно лишь одним способом. Значит, общее число угадать 6 номеров составит: [latex] P_6 = \frac{ 1 }{ N } = \frac{ 1 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 1 }{ 30 \cdot 271502 } = \approx 0.0000001228 = 0.00001228 \% [/latex] ; Допустим, что вопрос (а) подразумевает не строго 4 выигрышных номера, а 4 и более. В самом деле, там ведь не написано – СТРОГО четыре. Т.е. можно проинтерпретировать это задание, как выбор 4 из 6, а так же и 5 из 6, а так же и 6 из 6. Хорошо, сама такая интерпретация вопроса не является ошибкой. Если интерпретировать вопрос пункта (а) таким образом, то тогда мы просто найдём полную вероятность [latex] P_{IV} = P_4 + P_5 + P_6 [/latex] того, что участник угадает любое количество номеров, больше или равно четырём, т.е. гарантированно угадает 4 каких-то номера. В такой интерпретации: [latex] P_{IV} = P_4 + P_5 + P_6 = \frac{ 741 }{ 2 \cdot 271502 } + \frac{ 39 }{ 5 \cdot 271502 } + \frac{ 1 }{ 30 \cdot 271502 } = \frac{ 741 \cdot 15 + 39 \cdot 6 + 1 }{ 30 \cdot 271502 } = \frac{ 11350 }{ 30 \cdot 271502 } = [/latex] [latex] = \frac{ 1135 }{ 3 \cdot 271502 } \approx 0.001393 = 0.1393 \% [/latex] . !!!! Некоторые очень неопытные учащиеся делают катастрофическую ошибку, о которой стоит сказать отдельно !!!! ОШИБКОЙ БЫЛО БЫ СЧИТАТЬ, ЧТО ПРИ РАСЧЁТЕ ПУНКТА **[2]** можно взять произвольно ещё два номера из общего пула, т.е. считать, что [latex] N'_2 = \frac{ 41 \cdot 40 }{ 2 } = 41 \cdot 20 [/latex] и, как бы, учесть при этом любой исход, как для 4, так и для 5-ти, так и для 6 выигрышных номеров. В этом случае, получится неправильное значение для [latex] P'_{IV} = \frac{ N_4 \cdot N'_2 }{ N } = \frac{ 5 \cdot 3 \cdot 41 \cdot 20 }{ 11 \cdot 43 \cdot 21 \cdot 41 \cdot 20 } = \frac{ 5 }{ 11 \cdot 43 \cdot 7 } = \frac{ 5 }{ 3311 } \approx 0.001510 = 0.1510 \% [/latex] . Как видим, оно завышено, поскольку варианты выборок более чем 4 номеров посчитаны несколько раз, когда они брались из общего пула. !!!! ОКОНЧАНИЕ РАЗБОРА НЕВЕРНОГО ПОДХОДА !!!! О т в е т . в . п р и к р е п л ё н н о м . и з о б р а ж е н и и >>>