Почему 9 * на любое число, при сложении получившихся в ответе цифр получается 9? 9*1=9 9*2=18 (1+8=9) 9*3=27 (2+7=9)

о-первых, не "на любое число", а только на число от 1 до 10. Дальше это уже не работает. Например, 9*11=99; сумма цифр равна 18, а не 9. Во-вторых, давайте разберемся, почему это правило работает для чисел от 1 до 10. Как мы знаем, результат получается не более чем двузначный (не превосходящий 90), так что его можно записать в виде ХУ, где Х - число десятков, а У - число единиц. Иначе говоря, 9*М = ХУ = 10*Х + У, где М - число от одного до 10, a Х и У - цифры от 0 до 9. Перепишем это так: 9*М = 9*Х + Х + У = 9*Х + (Х + У) Левая часть этого равенства делится на 9, следовательно, и правая тоже должна делиться на 9. В правой части первое слагаемое явно делится на 9, потому что содержит девятку в качестве множителя. Поэтому и (Х + У) тоже должно делиться на 9. Иначе говоря, сумма цифр результата умножения должна делиться на 9. Но это и значит, что эта сумма просто должна быть равна 9, потому что 18, 27 и т. д. - это слишком много. Самое маленькое число, сумма цифр которого дает 18 - это 99, как я уже писал выше.