Положительные числа a, b, с таковы ,что аb+bc+ca в пять раз больше ,чем abc.Каково минимальное значение суммы этих чисел?

аb+bc+ca=5abc x=a+b+c (1) Нужно найти min{x}. 1. Если бы числа a, b, c были по условию целые, то: (аb+bc+ca)/abc=5 1/c+1/a+1/b=5 Из последнего видно, что не существует таких целых чисел. Минимальные положительные значения a, b, c, чтобы 1/c+1/a+1/b - было целым числом равны 1, но сумма их равна 3. Значит они должны быть меньше 1, но больше 1/5. 2. Найдем экстремум функции 2-х переменных. Из системы (1) выразим с и х, получим: 5ab-a-b!=0, c =(ab)/(5ab-a-b), x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b), ab!=0 (!= - не равно) Найдем частные производные первого порядка. x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b) (dx(a,b))/(da) = (a^2+2ab-10a^2b-10ab^2+25a^2b^2)/(-a-b+5ab)^2 (dx(a,b))/(db) = ((-1+5a)b(-b+a(-2+5b)))/(a+b-5ab)^2 Найдем стационарные точки решая с-му уравнений: (a^2+2ab-10a^2b-10ab^2+25a^2b^2)/(-a-b+5ab)^2=0 (dx(a,b))/(db) = ((-1+5a)b(-b+a(-2+5b)))/(a+b-5ab)^2=0 (потрудитесь сами) Получатся некие точки: M1(...), M2(...),... Отбираем только те, которые соответствуют условию, что a>0, b>0, c>0. и условию 1/c+1/a+1/b=5 -> 1 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0; 2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет. В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. (в одном из решений должно получиться Δ > 0 и А > 0) (все решаем самостоятельно) После всего координаты т. Мn, в которой Δ > 0 и А > 0 подставляем в x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b) и находим минимальное значение суммы чисел а,b и с. Помимо всего, у нас еще и значеня самих а, b и с получатся а и b это координаты т. Мn (3/5,3/5), которая удовлетворяет условию Δ > 0 и А > 0, а значение с найдем из c =(ab)/(5ab-a-b). Ответ: min{x =(5a^2b-a^2+5ab^2-ab-b^2)/(5ab-a-b)} = 9/5 при (a,b) =(3/5, 3/5) и с=3/5. Все.   Проще я не знаю как.