Помогите найти производную сложной функции. y=ln(1+cosx^2) Важен не только ответ, но и ход решения. Решали и сами, хотим сверить ответ.

[latex]y=ln(1+cosx^{2})[/latex] Для нахождения производной воспользуемся следующей теоремой (может и не теорема, но штука полезная): Пусть [latex]f(g(x))[/latex] - сложная функция, тогда [latex](f(g(x)))'=f'(g)*g'(x)[/latex]. По сути дела, данное утверждение распространяется на любое количество "внутренних" функций. Так же для нахождения необходимо знать следующее: [latex](u+v)'=u'v+uv'[/latex] Решаем: 1) [latex]y'=[ln(1+cosx^{2})]'=ln'(1+cosx^{2})*(1+cosx^{2})'[/latex] 2) разберемся со второй скобкой: [latex](1+cosx^{2})'=1'*cosx^{2}+(cosx^{2})'*1=0*cosx^{2}+(cosx^{2})'= \\ =0+(cosx^{2})'=(cosx^{2})'=cos'x^{2}*(x^{2})'=-sinx^{2}*2x[/latex] 3) разберемся с логарифмом: [latex]ln'(1+cosx^{2})= \frac{1}{1+cosx^{2}} [/latex] 4) теперь перемножим то, что получилось во 2) и 3) пунктах: [latex] \frac{1}{1+cosx^{2}}*(-2xsinx^{2})= \frac{-2xsinx^{2}}{1+cosx^{2}} [/latex] Можем записывать ответ: [latex]\frac{-2xsinx^{2}}{1+cosx^{2}}[/latex]