!!!!помогите пожалуйста!!! Не могу разобраться.... Объясните пожалуйста (подробно) , к?
!!!!помогите пожалуйста!!! Не могу разобраться.... Объясните пожалуйста (подробно) , к??к решить Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: y'=x+y
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость Есть несколько равноценных способов. Например, так
y' - y = x,
Найдем множитель M=M(x), такой что
M*y' - M*y = (M*y)'.
M*y' - M*y = M'*y + M*y',
-M*y = M'*y,
-M = M';
dM/dx = -M;
dM/M = -dx;
ln|M| = C-x;
|M| = e^(C-x) = (e^C)*(e^(-x) );
M = A*e^(-x), где А это константа, положим A=1;
и домножим исходное уравнение на M=e^(-x),
e^(-x)*y' - e^(-x)*y = x*e^(-x);
левая часть последнего уравнения = (y*e^(-x))' = x*e^(-x);
интегрируем:
y*e^(-x) = S x*e^(-x) dx + C,
S x*e^(-x) dx = S (-x) d(e^(-x)) = (-x)*(e^(-x)) - S (e^(-x)*(-1) dx =
= -x*(e^(-x)) - e^(-x) + C = -e^(-x)*(x+1) + C,
проверка интеграла
(-e^(-x)*(x+1) )' = -[ e^(-x) - e^(-x)*(x+1) ] = -e^(-x)*(1 - x - 1) =
= -e^(-x)*(-x) = x*e^(-x).
y*e^(-x) = C - e^(-x)*(x+1);
y = C*(e^x) - x - 1;
Проверка общего решения.
y' = C*(e^x) -1;
x+y = x + C*(e^x) - x - 1 = C*(e^x) -1;
Не нашли ответ?
Похожие вопросы