Помогите, пожалуйста, доказать замечательное свойство окружности о том, что геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под прямым углом , есть окружность с диаметром АВ.

В одну сторону. Возьмем любую точку C на окружности. Тогда угол ACB - прямой (т.к. вписанный и опирается на дугу 180 градусов). Обратно. Пусть нашлась точка X с таким свойством не на окружности. Построим треугольник ABX. По условию он прямоугольный, а значит, AB - диаметр окружности, описанной около ABX. Но на отрезке как на диаметре можно построить только одну окружность. Противоречие.