Помогите пожалуйста решить задачу На одной из сторон острого угла с вершиной О отмечены точки М и N ( М лежит между О и N). На другой стороне угла отмечена точка К, из которой отрезок МN виден под наибольшим углом. Найдите ОN, ...

Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной. По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN. Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6, 4²=x(х+6), х²+6х-4=0, х1=-8, отрицательное значение не подходит, х2=2. ON=2+6=8 дм - это ответ. Теперь докажем, что отрезок  MN виден из точки К под большим углом. Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r. На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r. Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды. ∠MKN=α, ∠MPN=β. Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды. MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R. MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r. Сравним синусы, предположив, что они равны. MN/2R=MN/2r. 1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinββ. Доказано.