ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Вычислить объем пирамиды с вершинами A1, A2, A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3, используя смешанное и векторное произведения соответствующих векторов.

Сначала найдём угол между рёбрами A1A2 и A1A4. Угол между рёбрами - это тоже самое, что и угол между векторами. Значит достаточно найти угол между векторами А1А2 и А1А4. Для нахождения координат вектора надо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора. Получаем: А1А2 = {6-7;5-7;8-3} = {-1;-2;5} A1A4 = {8-7;4-7;1-3} = {1;-3;-2} Для нахождения угла между векторами почти всегда используют скалярное произведение. По определению: (A1A2;A1A4) = |A1A2| * |A1A4| * Cos (А1A2;A1A4), где |A1A2|, |A1A4| - длины векторов, Cos (A1A2;A1A4) - косинус угла между векторами, то есть косинус того угла, который нам надо найти. Выразим косинус. Имеем : Cos (A1A2;A1A4) = (A1A2;A1A4) / (|A1A2| * |A1A4|) |A1A2| = {(-1)*(-1)+(-2)*(-2)+5*5}^{1/2} = {30}^{1/2} |A1A4| = {1*1+(-3)*(-3)+(-2)*(-2)}^{1/2} = {14}^{1/2} Скалярное произведение двух векторов вычисляется как сумма произведений соответствующих координат. (A1A2;A1A4) = (-1)*1+(-2)*(-3)+(-2)*5 = -5 Cos (A1A2;A1A4) = -5 / ({30}^{1/2} * {14}^{1/2}) = -0,2440 Тогда наш угол равен arccos (-0,2440) = 104 градуса Ответ : 104 градуса Найти уравнения высоты из точки А4 на грань А1А2А3. Найдём уравнение грани А1А2А3, это плоскость. Общий вид плоскости : Ax+By+Cz+D=0 Точки А1,А2 и А3 принадлежат этой грани. Точка принадлежит плоскости, если при подстановке координат точки вместо x,y и z в уравнение плоскости получаем 0. Отсюда система линейных уравнений. 7A+7B+3C+D=0, 6A+5B+8C+D=0, 3A+5B+8C+D=0. Решаем. Вычитая из второго уравнения третье, получаем А=0. Тогда 7B+3C+D=0, 5B+8C+D=0, A=0. Выражаем D : D = -7B-3C. Тогда, подставив это выражение во второе уравнение, получим 5B+8C-7B-3C=0, 5C=2B, B=2,5C. D=-7*2,5C-3C=-20,5C. Имеем 2,5Cy+Cz-20,5C=0 5Cy+2Cz-41=0 C не равно 0, иначе плоскость вырождена, поэтому можно разделить на С. Уравнение грани A1A2A3 : 5y+2z-41=0. По уравнению плоскости легко находится вектор, перпендикулярный плоскости. Если плоскость имеет вид Ax+By+Cz+D=0, то вектор, перпендикулярный плоскости имеет вид {A;B;C}. В нашем случае это {0;5;2}. Высота перпендикулярна плоскости, прямая задаётся точкой на прямой и лежащим на ней вектором. В качестве вектора можно взять {0;5;2}, а в качестве точки вершину A4 (8;4;1). Ответ : Угол равен 104 градуса. Уравнение высоты : x = 8, y = 4+5t, z = 1+2t, где t принадлежит R.