ПОМОГИТЕ, ПРОШУ!!! Докажите, что прямая, проходящая через две точки пересечения двух окружностей, делит пополам отрезок, соединяющий точки касания этих окружностей с их общей касательной.

Достаточно немного "повернуть" взгляд на условие, что бы все сразу стало очевидно. Есть точка, в которой пересекаются прямая, проходящая через точки пересечения окружностей, и их общая касательная. Можно считать, что из этой точки проведены касательные к обеим окружностям и секущая. Квадраты длин касательных к обеим окружностям очевидно равны произведению расстояний от этой точки до первой и второй точек пересечения окружностей (ну, есть такая связь между длинами касательной и секущей - квадрат длины касательной равен произведению отрезков секущей). То есть, расстояния от этой точки до точек касания равны между собой. Это всё :).