Помогите решить 15 задание из профильного варианта по математике

Помогите решить 15 задание из профильного варианта по математике
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
1) Выясняем, какие ограничения наложены на переменную. Так как x-1- основание логарифма, то x-1>0,x-1≠1, т.е. x>1 и x≠2.  Так как выражение x²+2*x стоит под знаком квадратного корня, то x²+2*x=(x+1)²-1≥0, т.е. (x+1)²≥1. Отсюда либо x+1≥1, т.е. x≥0, либо x+1≤-1, т.е. x≤-2. Но так как x>1, то условие x≤-2 неравенству не удовлетворяет. на данный момент мы имеем 2 ограничения: x>1, x≠2.  Так как выражение x²+10>0 при любом x, то здесь x может принимать любые значения. Однако должно выполняться требование √(x²+2*x)-√(x²+10≠0, иначе знаменатель дроби обратится 0. По этой же причине должно быть /x-8/-/x/≠0. Последнее требование выполняется при x≠4, а первое - при √(x²+2*x)≠√(x²+10). Решим уравнение √(x²+2*x)=√(x²+10). Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение x²+2*x=x²+10, откуда x=5. Значит, должно выполняться требование x≠5.  В итоге мы имеем 4 ограничения, накладываемые на переменную x: x>1, x≠2, x≠4, x≠5.  Переходим к решению неравенства, проведём его  методом интервалов. При этом заметим, что при 12 эта функция возрастает. Дробь обращается в 0 при 5^x-125=0, откуда x=log_5(125)=3 и при log_x-1(x/3)=0, откуда x/3=1 и x=3. Таким образом, дробь обращается в 0 лишь при x=3. Теперь составляем таблицу: Интервал                     (1;2)    (2;3)   (3;4)   (4;5)   (5;+∞) знак числителя               -          +        +        +          + знак знаменателя           -          -         -         +          - знак дроби                      +          -         -        +           - Из таблицы видно, что неравенство удовлетворяется на интервалах (1;2)∪(4;5). А ранее было найдено, что дробь обращается в 0 при x=3.
Гость
ОДЗ логарифмической функции, входящей в неравенство: [latex] \left \{ {{x\ \textgreater \ 0; x-1\ \textgreater \ 0} \atop {x-1 \neq 1}} \right. [/latex] x∈(1;2)U(2;+∞) При х∈(1;2)U(2;+∞) подкоренные выражения имеют смысл. Избавимся от иррациональности в знаменателе: [latex]\frac{(5^x-125)( \sqrt{x^2+2x}+ \sqrt{x^2+10})\cdot (log_{x-1}x-log_{x-1}3) }{(x^2+2x-(x^2+10))\cdot (|x-8|-|x|)}\geq 0[/latex] Так как [latex] \sqrt{x^2+2x}+ \sqrt{x^2+10}\ \textgreater \ 0 [/latex] при x>1, то  неравенство примет вид: [latex]\frac{(5^x-125)\cdot (log_{x-1}x-log_{x-1}3) }{(2x-10))\cdot (|x-8|-|x|)}\geq 0 [/latex] Находим нули числителя: 1) [latex]5^x-125=0 \\ \\ x=3[/latex] 2) [latex]log_{x-1}x-log_{x-1}3=0 \\ \\ x=3[/latex] Находим нули знаменателя: 3) 2x-10=0 x=5 4) |x-8|-|x|=0 или |x-8|=|x| Возводим в квадрат х²-16х+64=х² 16х=64 х=4 Отмечаем эти точки на числовой прямой с учетом ОДЗ: (1)___(2)___[3]___(4)___(5)____ Дробь ≥0 тогда и только тогда когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель положителен на (2;3]U[3;+∞)=(2;+∞) Знаменатель положителен на (4;5) Значит  дробь  положительна при х∈(4;5) Дробь неотрицательна при х∈{3}U(4;5) Числитель отрицателен на (1;2) Знаменатель отрицателен на (1;2)U(2;4)U (5;+∞) Значит  дробь  неотрицательна  при х∈(1;2) О т в е т. (1;2)U{3}U(4;5)
Не нашли ответ?
Ответить на вопрос
Похожие вопросы