Помогите решить дифференциальные уравнения! Пожалуйста. 1) y``+2y`=sin x 2) y`+y/2x=x^2 y(1)= 1

1) y '' + 2y ' = sin x Просто, потому что по шаблону. Характеристическое уравнение k^2 + 2k = 0; k1 = 0; k2 = -2 Решение однородного уравнения: y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-2x) = C1 + C2*e^(-2x) Решение неоднородного уравнения y* = A*sin x + B*cos x y* ' = A*cos x - B*sin x y* '' = -A*sin x - B*cos x Подставляем в наше уравнение -A*sin x - B*cos x + 2A*cos x - 2B*sin x = sin x (-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = 1*sin x + 0*cos x Система { -A - 2B = 1 { 2A - B = 0 Умножаем 2 уравнение на -2 { -A - 2B = 1 { -4A + 2B = 0 И складываем уравнения -5A = 1; A = -1/5 = -0,2 B = 2A = -0,4 Общее решение неоднородного уравнения y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-2x) - 0,2sin x - 0,4cos x 2) y ' + y/(2x) = x^2 Чуть сложнее, но тоже нетрудно. Решение однородного уравнения y ' + y/(2x) = 0 dy/dx = -y/(2x) dy/y = -dx/(2x) ln y = -ln |2x| + ln C = ln |C/(2x)| y0 = C/(2x) Решение неоднородного уравнения y* = Ax^3 + Bx^2 + Dx y* ' = 3Ax^2 + 2Bx + D Подставляем в уравнение 3Ax^2 + 2Bx + D + 3Ax^2/2 + Bx/2 + D/2 = x^2 { 3A + 3A/2 = 1 { 2B + B/2 = 0 { D + D/2 = 0 A = 2/9; B = 0; D = 0 y* = 2x^2/9 y = y0 + y* = C/(2x) + 2x^2/9 Решаем задачу Коши. y(1) = C/2 + 2/9 = 1 C/2 = 7/9 C = 14/9 Ответ: y = 7/(9x) + 2x^2/9