Помогите решить логорифмическое неравенство! log21+4x-x^2(7-x)/logx+3(21+4x-x^2) меньше 1/4
Помогите решить логорифмическое неравенство! log21+4x-x^2(7-x)/logx+3(21+4x-x^2)<1/4
Ответ(ы) на вопрос:
[latex] \frac{log_{21+4x-x^2}(7-x)}{log_{x+3}(21+4x-x^2)} \ \textless \ \frac{1}{4} [/latex]
ОДЗ: 21 + 4x - x² > 0
21 + 4x - x² ≠ 1
7 - x > 0
x + 3 > 0
x + 3 ≠ 1
21 + 4x - x² > 0
x² - 4x - 21 < 0
x² - 4x - 21 = 0
По теореме Виета: x₁ = -3, x₂ = 7.
x² - 4x - 21 < 0
x ∈ (-3; 7)
21 + 4x - x² ≠ 1
x² - 4x - 20 ≠ 0
D = 16 + 80 = 96
[latex]x_1 \neq \frac{4- \sqrt{96}}{2} = 2 -\sqrt{24} = 2(1-\sqrt{6}) \\ x_2 \neq \frac{4+\sqrt{96}}{2} = 2+\sqrt{24}=2(1+\sqrt{6})[/latex]
7 - x > 0
x < 7
x + 3 > 0
x > -3
x + 3 ≠ 1
x ≠ -2
Окончательно, ОДЗ: x ∈ (-3; [latex]2(1-\sqrt{6})[/latex]) U ([latex]2(1-\sqrt{6})[/latex]; -2) U (-2; [latex]2(1+\sqrt{6})[/latex]) U ([latex]2(1+\sqrt{6})[/latex]; 7).
Решаем само неравенство:
[latex]\frac{log_{-(x+3)(x-7)}(7-x)}{log_{x+3}(-(x+3)(x-7))} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{log_{(x+3)(7-x)}(7-x)}{log_{x+3}((x+3)(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4} [/latex]
[latex]\frac{1}{log_{7-x}((x+3)(7-x))*log_{x+3}((x+3)(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{1}{(log_{7-x}(x+3)+1)*(1+ log_{x+3}(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4}[/latex]
[latex]\frac{1}{( \frac{1}{ log_{x+3}(7-x)}+1)*(1+ log_{x+3}(7-x))} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{log_{x+3}(7-x)}{(1+ log_{x+3}(7-x))^2} \ \textless \ \frac{1}{4}[/latex]
Замена:
[latex]t=log_{x+3}(7-x) \\ \frac{t}{(1+t)^2} \ \textless \ \frac{1}{4} \\ \frac{4t-(1+t)^2}{4(1+t)^2} \ \textless \ 0[/latex]
[latex]\frac{4t-1-2t-t^2}{4(1+t)^2} \ \textless \ 0 \\ \frac{-(1-t)^2}{4(1+t)^2} \ \textless \ 0[/latex]
[latex]\frac{(1-t)^2}{4(1+t)^2}\ \textgreater \ 0[/latex]
t ≠ 1
t ≠ -1
Делаем обратную замену:
[latex]log_{x+3}(7-x) \neq 1 \\ log_{x+3}(7-x) \neq -1 [/latex]
[latex]7-x \neq x+3\\ 7-x \neq \frac{1}{x+3} [/latex]
[latex]2x \neq 4\\ \frac{(7-x)(x+3)-1}{x+3} \neq 0 [/latex]
[latex]x \neq 2\\ \frac{20+4x-x^2}{x+3} \neq 0 [/latex]
[latex]x \neq 2\\ x^2-4x-20 \neq 0 \\ x+3 \neq 0[/latex]
[latex]x \neq 2\\ x^2-4x-20 \neq 0 \\ x\neq -3[/latex]
Учитывая ОДЗ, окончательный ответ: x ∈ (-3; [latex]2(1-\sqrt{6})[/latex]) U ([latex]2(1-\sqrt{6})[/latex]; -2) U (-2; 2) U (2; [latex]2(1+\sqrt{6})[/latex]) U ([latex]2(1+\sqrt{6})[/latex]; 7).
Не нашли ответ?
Похожие вопросы