Ответ(ы) на вопрос:
ГостьV - знак корня
1)V(x^2-9) < 5-x
В левой части неравенства стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения, поэтому, чтобы неравенство имело решения, правая часть должна быть положительной.
Получаем первое условие: 5-x>0.
Чтобы решить неравенство, возведем обе части в квадрат. Получаем второе условие: x^2-9<(5-x)^2.
Не забываем про ОДЗ: x^2-9>=0 - это третье условие.
Итак, исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:
{5-X>0
{X^2-9<(5-X)^2
{X^2-9>=0
Решим эти неравенства системы, а потом объединим их решения:
a)5-x>0; -x>-5; x<5
б)x^2-9<(5-x)^2
x^2-9< 25-10x+x^2
x^2-9-25+10x-x^2<0
10x-34<0
10x<34
x<3,4
в)x^2-9>=0
(x-3)(x+3)>=0
x<=-3; x>=3
Объединим все решения: x e (- беск.; -3] U [3; 3,4)
2)V(2x+14) >=3+x
Поскольку в левой части неравенства стоит квадратный корень,
левая часть всегда неотрицательна, поэтому:
a)если 3+x <0, то неравенство выполняется при любом допустимом значении Х,т.е. при 2x+14>=0.
б) если 3+x>=0, то мы можем возвести обе части неравенства в квадрат и получим: 2x+14>=(3+x)^2, и условие на ОДЗ 2x+14>=0
будет автоматически следовать из этого неравенства.
Итак, исходное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:
{3+x<0
{2x+14>=0
{3+x>=0
{2x+14>=(3+x)^2
Решим каждую систему:
a)3+x<0; x<-3
б)2x+14>=0; 2x>=-14; x>=-7
______[-7]______________
//////////////////////////////
______________(-3)______
//////////////////////////////
x e [-7;-3)
Вторая система:
a)3+x>=0; x>=-3
б) 2x+14>=(3+x)^2
2x+14>=9+6x+x^2
2x+14-9-6x-x^2>=0
-x^2-4x+5>=0
x^2+4x-5<=0
x^2+4x-5=0
D=4^2-4*1*(-5)=36
x1=(-4-6)/2=-5; x2=(-4+6)/2=1
___+____[-5]_____-_______[1]___+____
/////////////////////////////
_______________[-3]________________
//////////////////////////////////
x e [-3;1]
Соединим решения всех систем неравенств:
x e [-7; -3)U(-3;1]
3)|6x-1)>2
|6x-1|-2>0
Подмодульное выражение обращается в ноль в точке х =1/6.
Нанесем её на числовую ось: ___________1/6____________
Мы получили два промежутка. Найдем знаки подмодульного выражения на каждом промежутке:
_____-_______1/6_______+______
Раскроем модули на каждом промежутке:
a) x<1/6
На этом промежутке подмодульное выражение отрицательное,поэтому модуль раскроем с противоположным знаком.
Получим следующую систему:
{x<1/6
{-6x+1-2>0
Решим её:
-6x+1-2>0
-6x-1>0
-6x>1
6x<-1
x<-1/6
x e ( -беск.;-1/6)
б) x>=1/6
На этом промежутке подмодульное выражение положительное, поэтому модуль раскроем без смены знака и получим следующую систему:
{x>=1/6
{6x-1-2>0
Решим:
6x-3>0
6x>3
x>1/2
x e (1/2; + беск.)
Ответ:(- беск.;-1/6)U(1/2; + беск.)
4)|4x^2-1| <=x+2
Подмодульное выражение обращается в ноль в точках: x=-1/2 и
x=1/2.
______+_____-1/2_____-_______1/2_____+
a) x < -1/2
{x<-1/2
{4x^2-1<=x+2
Решение:
4x^2-1-x-2<=0
4x^2-x-3<=0
4x^2-x-3=0
D=(-1)^2-4*4*(-3)=49
x1=(1-7)/8=-3/4; x2=(1+7)/8=1
x e [-3/4; -1/2)
б) -1/2<=x<1/2
-4x^2+1-x-2<=0
-4x^2-x-1<=0
4x^2+x+1>=0
D=1^2-4*4*1=-15
x e [-1/2; 1/2)
в) x>=1/2
4x^2-1-x-2<=0
Это неравенство мы уже решали, поэтому: x e [1/2;1]
Ответ: x e [-3/4; -1/2)U(-1/2; 1/2) U (1/2; 1]
5)log2(x) -2logx(2) +1<0
ОДЗ: x>0; x не равен 1
log2(x) - 2/log2(x) +1 <0
[ (log2(x))^2-2+log2(x)] / log2(x) <0
Замена: log2(x)=t
t^2+t-2<0
D=1^2-4*1*(-2)=9
t1=(-1-3)/2=-2; t2=(-1+3)/2=1
Обратная замена:
a)log2(x)>-2
log2(x)> log2(1/4)
x>1/4
б) log2(x) <1
log2(x)
Не нашли ответ?
Похожие вопросы