Помогите решить. Подробно, если можно.[latex]1) \frac{1+sinx+cosx}{1+sinx-cosx} = ctg \frac{x}{2} \\ 2) \frac{cos3x+cos4x+cos5x}{sin3x+sin4x+sin5x} = ctg4x[/latex]

В 1-ом примере в правой части у ctg половинный угол, это уже подсказка, т.е. углы sinx и cosx можно расписать как sin(2*x/2) и cos(2*x/2), а 1 (единицу) как sin²x+cos²x, но за x берём x/2: [latex] \frac{1+sinx+cosx}{1+sinx-cosx}=ctg \frac{x}{2} \\\\1+sinx+cosx= 1+sin (2*\frac{x}{2})+cos (2*\frac{x}{2})=\\=sin^2 \frac{x}{2} +cos^2 \frac{x}{2} +2sin \frac{x}{2}cos \frac{x}{2}+cos^2 \frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=\\=2cos ^2\frac{x}{2}+2sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=2cos\frac{x}{2}(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2});[/latex]  [latex]\\\\1+sinx-cosx=sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-(cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2})=\\=2sin^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=2sin\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}); \\\\\frac{2cos\frac{x}{2}(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})}{2sin\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})}=\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}=ctg\frac{x}{2};[/latex] Во 2-ом примеру пользуемся формулами преобразования суммы функций в произведение и после будет видно что выносить за скобку, для упрощения: [latex]\frac{cos3x+cos4x+cos5x}{sin3x+sin4x+sin5x}=ctg4x\\\\cos3x+cos5x=2cos\frac{3x+5x}{2}cos\frac{3x-5x}{2}=2cos4xcosx;\\sin3x+sin5x=2sin\frac{3x+5x}{2}cos\frac{3x-5x}{2}=2sin4xcosx;\\\\\frac{2cos4xcosx+cos4x}{2sin4xcosx+sin4x}=\frac{cos4x(2cosx+1)}{sin4x(2cosx+1)}=\frac{cos4x}{sin4x}=ctg4x[/latex] Почему я сложил sin3x и sin5x, а, к примеру, не sin3x и sin4x (то же с cosx), потому, что зная формулу, а именно что надо сложить два угла и разделить на 2, мы сразу увидим, в данном примере, угол 4x, в общем общий множитель. Да и всегда удобнее складывать и вычитать два нечетных числа, т.е. нечетное с нечетным, а четное с четным. Ответы будут чётными, а это значит, что будет делиться на 2 без остатка.