Помогите решить систему уравнений :[latex] \left \{ {{7 \sqrt[3]{xy}-3 \sqrt{xy}=4 } \atop {x+y=20}} \right. [/latex]

ОДЗ: xy≥0 Произведем замену переменных  Пусть [latex] \sqrt[6]{xy} =a[/latex], тогда получаем [latex]\begin{cases} & \text{ } 7a^2-3a^3=4 \\ & \text{ } x+y=20 \end{cases} [/latex] Разложим на множители уравнение (1) ******************************************************* [latex]3a^3-7a^2+4=0[/latex]  Добавим и вычтем слагаемые [latex]3a^3-3a^2-4a^2+4a-4a+4=0\\ 3a^2(a-1)-4a(a-1)-4(a-1)=0\\(a-1)(3a^2-4a-4)=0\\ a_1=0\\ 3a^2-4a-4=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-4)=64\\ a_2=2\\a_3=- \frac{2}{3} [/latex] *********************************** a=-2/3 - лишний, так как не удовлетворяет ОДЗ  Имеем 2 системы [latex]\begin{cases} & \text{ } \sqrt[6]{xy}=1 \\ & \text{ } x+y=20 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} & \text{ } xy=1 \\ & \text{ } x=20-y \end{cases} \\ y(20-y)=1\\ -y^2+20y=1\\ y^2-20y+1=0\\ D=b^2-4ac=(-20)^2-4\cdot1\cdot1=396\\ y_1=10-3 \sqrt{11} \\y_2=10+3\sqrt{11}\\x_1=10+3\sqrt{11}\\ x_2=10-3\sqrt{11}[/latex] [latex]\begin{cases} & \text{ } \sqrt[6]{xy}=2 \\ & \text{ } x+y=20 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } xy=64 \\ & \text{ } x=20 -y \end{cases}\\ y(20-y)=64\\y^2-20y+64=0\\ D=b^2-4ac=(-20)^2-4\cdot1\cdot64=144\\ y_1=4\\y_2=16\\x_1=16\\ x_2=4[/latex] Ответ: [latex](10+3 \sqrt{11} ;10-3\sqrt{11} ),\,\,(10-3\sqrt{11} ;10+3\sqrt{11} ),\,\,(16;4),\,\,(4;16).[/latex]

[latex] \left \{ {{7 \sqrt[3]{xy} -3 \sqrt{xy} =4} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] В 1 уравнении замена xy = t [latex] \left \{ {{7 \sqrt[3]{t}=4+3 \sqrt{t} } \atop {x+y=20}} \right. [/latex] 1 уравнение возводим в куб [latex] \left \{ {{343t = (4+3 \sqrt{t} )^{3}= 4^3+3*4^2*3 \sqrt{t} +3*4*9t+27 \sqrt{t^3}} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{343t = 64+144 \sqrt{t} +108t+27t \sqrt{t}} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{64+144 \sqrt{t} -235t+27t \sqrt{t}=0} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] Новая замена √t = z > 0 при любом t, потому что корень арифметический. [latex] \left \{ {{27z^3-235z^2+144z+64=0} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{27z^3-27z^2-208z^2+208z-64z+64=0} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{(z-1)(27z^2-208z-64)=0} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{(z-1)(27z^2-216z+8z-64)=0} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{(z-1)(z-8)(27z+8)=0} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] Получаем два корня: 1) z = 1 [latex] \left \{ {{z= \sqrt{t}= \sqrt{xy} =1} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{xy=1} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] x и y являются корнями квадратного уравнения, которое по теореме Виета имеет коэффициенты b = 20, c = 1 k^2 - 20k + 1 = 0 D/4 = 100 - 1 = 99 = (3√11)^2 k1 = 10 - 3√11; k2 = 10 + 3√11 x1 = 10 - 3√11. y1 = 10 + 3√11 x2 = 10 + 3√11; y2 = 10 - 3√11 2) z = 8 [latex] \left \{ {{z= \sqrt{t}= \sqrt{xy} =8} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{xy=64} \atop {x+y=20}} \right. [/latex] x и y являются корнями квадратного уравнения, которое по теореме Виета имеет коэффициенты b = 20, c = 64 k^2 - 20k + 64 = 0 D/4 = 100 - 64 = 36 = 6^2 k1 = 10 - 6 = 4; k2 = 10 + 6 = 16 x3 = 4; y3 = 16 x4 = 16; y4 = 4 3) z = -8/27 < 0  - не подходит, должно быть z > 0 при любом t Ответ: (10-3√11; 10+3√11); (10+3√11; 10-3√11); (4; 16); (16; 4)